Calcolo Esempi

$y = \log_{5} (e^{2 x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{5} (x)$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\log_{5} (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$e^{2 x}$ e $\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)}$ .

$\frac{e^{2 x}}{e^{2 x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x}}{e^{2 x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\ln (5)} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

$2$ e $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot 1$

Passaggio 3.6

Moltiplica $\frac{2}{\ln (5)}$ per $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)}$