Calcolo Esempi

$y = \log_{6} (x^{8} + x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{6} (x)$ e $g (x) = x^{8} + x$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{8} + x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{6} (u)] \frac{d}{d x} [x^{8} + x]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\log_{6} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \ln (6)}$ .

$\frac{1}{u \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{8} + x]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{8} + x$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{8} + x]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{8} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (6)} (\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (6)} (8 x^{7} + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (6)} (8 x^{7} + 1)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{8} \ln (6) + x \ln (6)} (8 x^{7} + 1)$

Passaggio 3.2

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{8} \ln (6) + x \ln (6)} (8 x^{7} + 1)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x^{8} \ln (6) + x \ln (6)}$

Passaggio 3.3

Scomponi $x \ln (6)$ da $x^{8} \ln (6) + x \ln (6)$ .

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $x \ln (6)$ da $x^{8} \ln (6)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x \ln (6) (x^{7}) + x \ln (6)}$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $x \ln (6)$ da $x \ln (6)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x \ln (6) (x^{7}) + x \ln (6) (1)}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $x \ln (6)$ da $x \ln (6) (x^{7}) + x \ln (6) (1)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x \ln (6) (x^{7} + 1)}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $8 x^{7} + 1$ per $\frac{1}{x \ln (6) (x^{7} + 1)}$ .

$\frac{8 x^{7} + 1}{x \ln (6) (x^{7} + 1)}$