Calcolo Esempi

$y = e^{6 x} \cos (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{6 x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{6 x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$

Passaggio 2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{6 x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 6 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 x$ .

$e^{6 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{6 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x$ .

$e^{6 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{6 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{6 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{6 x} (6 \cdot 1))$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$e^{6 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{6 x} \cdot 6)$

Passaggio 4.3.2

Sposta $6$ alla sinistra di $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (6 \cdot e^{6 x})$

Passaggio 4.3.3

Riordina i termini.

$- e^{6 x} \sin (x) + 6 e^{6 x} \cos (x)$