Calcolo Esempi

$y = e^{4 x} \ln (x^{4})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{4 x}$ e $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{4}$ .

$e^{4 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{4 x} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{4}$ .

$e^{4 x} (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{x^{4}}$ e $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{e^{4 x}}{x^{4}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 3.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.3.1

$4$ e $\frac{e^{4 x}}{x^{4}}$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x^{4}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 3.3.2

$\frac{4 e^{4 x}}{x^{4}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 e^{4 x} x^{3}}{x^{4}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{4}$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $x^{3}$ da $4 e^{4 x} x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{4 x})}{x^{4}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 3.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{4 x})}{x^{3} x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 3.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} (4 e^{4 x})}{x^{3} x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 3.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} \cdot 4)$

Passaggio 5.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (4 \cdot e^{4 x})$

Passaggio 5.3.3

Riordina i termini.

$4 e^{4 x} \ln (x^{4}) + \frac{4 e^{4 x}}{x}$