Calcolo Esempi

$y = \sec^{2} (\sqrt{x})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sec (x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\sec (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4

Eleva $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec (x^{\frac{1}{2}})) (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 5

Eleva $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec^{1} (x^{\frac{1}{2}})) (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 {\sec (x^{\frac{1}{2}})}^{1 + 1} (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 7

Somma $1$ e $1$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 9

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 10

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 12

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 12.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 14

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 15

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $2$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 16

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$ e $\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \tan (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 17

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ e $\tan (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 18

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 18.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 18.2

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$