Calcolo Esempi

$y = \frac{\sinh (2 x)}{\cosh (2 x) - 5}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sinh (2 x)$ e $g (x) = \cosh (2 x) - 5$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)] - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sinh (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) (\frac{d}{d u_{1}} [\sinh (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sinh (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cosh (u_{1})$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) (\cosh (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) (\cosh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) (2 \cdot 1) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) \cdot 2 - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $(\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x)) - \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [\cosh (2 x) - 5]}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cosh (2 x) - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cosh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\frac{d}{d x} [\cosh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cosh (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cosh (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata di $\cosh (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sinh (u_{2})$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (\sinh (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sinh (2 x)$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (2 \cdot \sinh (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (2 \sinh (2 x) + 0)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.5.1

Somma $2 \sinh (2 x)$ e $0$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - \sinh (2 x) (2 \sinh (2 x))}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 \sinh (2 x) \sinh (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 6

Eleva $\sinh (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 (\sinh^{1} (2 x) \sinh (2 x))}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 7

Eleva $\sinh (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 (\sinh^{1} (2 x) \sinh^{1} (2 x))}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 {\sinh (2 x)}^{1 + 1}}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 (\cosh (2 x) - 5) \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 \cosh (2 x) + 2 \cdot - 5) \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cosh (2 x) \cosh (2 x) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 10.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.3.1

Moltiplica $2 \cosh (2 x) \cosh (2 x)$ .

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Passaggio 10.3.1.1

Eleva $\cosh (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (\cosh^{1} (2 x) \cosh (2 x)) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 10.3.1.2

Eleva $\cosh (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (\cosh^{1} (2 x) \cosh^{1} (2 x)) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 10.3.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 {\cosh (2 x)}^{1 + 1} + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 10.3.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \cosh^{2} (2 x) + 2 \cdot - 5 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{2 \cosh^{2} (2 x) - 10 \cosh (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$

Passaggio 10.4

Riordina i termini.

$\frac{2 \cosh^{2} (2 x) - 2 \sinh^{2} (2 x) - 10 \cosh (2 x)}{{(\cosh (2 x) - 5)}^{2}}$