Calcolo Esempi

$y = \arctan (\ln (5 x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \ln (5 x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arctan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (5 x)$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{5 x}$ per $\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)}$ .

$\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 3.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.3.1

$5$ e $\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))}$ .

$\frac{5}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))} \cdot 1$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))}$ per $1$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x \cdot 1 + x \ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{x + x \ln^{2} (5 x)}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{x \ln^{2} (5 x) + x}$

Passaggio 4.4

Scomponi $x$ da $x \ln^{2} (5 x) + x$ .

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $x$ da $x \ln^{2} (5 x)$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x}$

Passaggio 4.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x^{1}}$

Passaggio 4.4.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x \cdot 1}$

Passaggio 4.4.4

Scomponi $x$ da $x (\ln^{2} (5 x)) + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x) + 1)}$