Calcolo Esempi

$y = x^{3} \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3} \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$x^{3} \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Passaggio 2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$x^{3} \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Passaggio 3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Passaggio 4

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Passaggio 6

Somma $1$ e $1$ .

$x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 8

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} (- \sin (x))) + \sin (x) (\cos (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 10.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} \cos^{2} (x) + x^{3} (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \sin (x) (\cos (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 10.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} \cos^{2} (x) + x^{3} (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \sin (x) (\cos (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 10.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} \cos^{2} (x) + x^{3} (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + \sin (x) (\cos (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 10.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$x^{3} \cos^{2} (x) + x^{3} (- \sin^{2} (x)) + \sin (x) \cos (x) (3 x^{2})$

Passaggio 10.3

Riordina i termini.

$x^{3} \cos^{2} (x) - x^{3} \sin^{2} (x) + 3 x^{2} \cos (x) \sin (x)$