Calcolo Esempi

y = \frac{x sin (x)}{1 + cos (x)}

$y = \frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove

f (x) = x sin (x)

$f (x) = x \sin (x)$ e

g (x) = 1 + cos (x)

$g (x) = 1 + \cos (x)$ .

\frac{(1 + cos (x)) \frac{d}{d x} [x sin (x)] - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove

f (x) = x

$f (x) = x$ e

g (x) = sin (x)

$g (x) = \sin (x)$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x \frac{d}{d x} [sin (x)] + sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di

sin (x)

$\sin (x)$ rispetto a

x

$x$ è

cos (x)

$\cos (x)$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x) \cdot 1) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica

sin (x)

$\sin (x)$ per

1

$1$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di

1 + cos (x)

$1 + \cos (x)$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [cos (x)]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [cos (x)])}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4.4

Poiché

1

$1$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

1

$1$ rispetto a

x

$x$ è

0

$0$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [cos (x)])}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4.5

Somma

0

$0$ e

\frac{d}{d x} [cos (x)]

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) \frac{d}{d x} [cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 5

La derivata di

$\cos (x)$ rispetto a

$x$ è

$- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica

$x$ per

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7

Eleva

$\sin (x)$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 8

Eleva

$\sin (x)$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1.1

Espandi

$(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1.2.1

Moltiplica

$x \cos (x)$ per

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.1.2.2

Moltiplica

$\sin (x)$ per

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.1.2.3

Moltiplica

$\cos (x) (x \cos (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1.2.3.1

Eleva

$\cos (x)$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.1.2.3.2

Eleva

$\cos (x)$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.1.2.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.1.2.3.4

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.2

Sposta

$x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.3

Scomponi

$x$ da

$x \cos^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.4

Scomponi

$x$ da

$x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.5

Scomponi

$x$ da

$x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.6

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.7

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.8

Moltiplica

$x$ per

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.2

Riordina i termini.

$\frac{x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{\cos (x) (x + \sin (x)) + 1 (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore,

$x + \sin (x)$ .

$\frac{(x + \sin (x)) (\cos (x) + 1)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.4

Elimina il fattore comune di

$\cos (x) + 1$ e

${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Riordina i termini.

$\frac{(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.4.2

Scomponi

$1 + \cos (x)$ da

$(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.4.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.3.1

Scomponi

$1 + \cos (x)$ da

${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 11.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 11.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$