Calcolo Esempi

$y = x e^{x} - 4 e^{- x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{x} - 4 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 3.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$x e^{x} + e^{x} - 4 (- e^{- x})$

Passaggio 3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$x e^{x} + e^{x} + 4 e^{- x}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$e^{x} x + 4 e^{- x} + e^{x}$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori in $e^{x} x + 4 e^{- x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + 4 e^{- x} + e^{x}$