Calcolo Esempi

$y = x^{4} \ln (x - \frac{1}{2} x^{2})$

Passaggio 1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x - \frac{x^{2}}{2})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \ln (x - \frac{x^{2}}{2})$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x - \frac{x^{2}}{2})] + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{4} (\frac{1}{x - \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{x - \frac{x^{2}}{2}}$ e $x^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}] + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.4

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - \frac{1}{2} (2 x)) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - 2 (\frac{1}{2}) x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.6.2

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{- 2}{2} x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.6.3

$\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{- 2 x}{2}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.6.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 4.6.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 (1)}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{- x}{1}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.6.4.2.4

Dividi $- x$ per $1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) (4 x^{3})$

Passaggio 4.8

Riordina i termini.

$(1 - x) \frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} + 4 x^{3} \ln (x - \frac{x^{2}}{2})$