Calcolo Esempi

$y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 8 e^{x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 8 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 e^{x}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 8 e^{x}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $2 x e^{x}$ da $e^{x} (2 x)$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Sposta $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

Passaggio 5.2.1.2

Sottrai $2 x e^{x}$ da $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

Passaggio 5.2.2

Somma $x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} + 8 e^{x}$

Passaggio 5.2.3

Somma $- 2 e^{x}$ e $8 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 6 e^{x}$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$e^{x} x^{2} + 6 e^{x}$

Passaggio 5.4

Riordina i fattori in $e^{x} x^{2} + 6 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 6 e^{x}$