Calcolo Esempi

$y = x^{\frac{10}{x}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{\frac{10}{x}}$ come $e^{\ln (x^{\frac{10}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{10}{x}})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln (x^{\frac{10}{x}})$ spostando $\frac{10}{x}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{10}{x} \ln (x)}]$

Passaggio 2

$\frac{10}{x}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{10 \ln (x)}{x}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{10 \ln (x)}{x}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{10 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{10 \ln (x)}{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{10 \ln (x)}{x}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{10 \ln (x)}{x}$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{10 \ln (x)}{x}]$

Passaggio 4

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{10 \ln (x)}{x}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Passaggio 6

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 7.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Passaggio 7.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}})$

Passaggio 7.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}})$

Passaggio 7.4.2

$10$ e $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} \frac{10 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Passaggio 7.4.3

$e^{\frac{10 \ln (x)}{x}}$ e $\frac{10 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 (1 - \ln (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \cdot 1 + 10 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 \cdot 1) + e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

Semplifica $10 \ln (x)$ spostando $10$ all'interno del logaritmo.

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} (10 \cdot 1) + e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.2

Moltiplica $10$ per $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} \cdot 10 + e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.3

Sposta $10$ alla sinistra di $e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}}$ .

$\frac{10 \cdot e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} + e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} (10 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} + 10 \cdot - 1 e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.5

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$\frac{10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} - 10 e^{\frac{10 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.6

Semplifica $10 \ln (x)$ spostando $10$ all'interno del logaritmo.

$\frac{10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} - 10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.7

Moltiplica $- 10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} \ln (x)$ .

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Passaggio 8.3.1.7.1

Riordina $\ln (x)$ e $- 10$ .

$\frac{10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} - 10 \cdot \ln (x) e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.7.2

Semplifica $- 10 \cdot \ln (x)$ spostando $10$ all'interno del logaritmo.

$\frac{10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} - \ln (x^{10}) e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.2

Riordina i fattori in $10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} - \ln (x^{10}) e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}}$ .

$\frac{10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} - e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} \ln (x^{10})}{x^{2}}$

Passaggio 8.4

Riordina i termini.

$\frac{- e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}} \ln (x^{10}) + 10 e^{\frac{\ln (x^{10})}{x}}}{x^{2}}$