Calcolo Esempi

$y = \sqrt[3]{x} + \sqrt{x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt[3]{x} + \sqrt{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$