Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 4$ e $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (2 x + 0) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (2 x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2 \cdot 1)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x)) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 (x \cdot x)) + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + (- x^{2} + 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5

Espandi $(- x^{2} + 4) (2 x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (2 x - 2) + 4 (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.6.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.6.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.6.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6.6

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x - 8$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 0 + 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $- 4 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Somma $- 4 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} + 8 x - 8$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2

Scomponi $2$ da $8 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.3

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.4

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (- 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.5

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (- 4)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.5.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ e la cui somma è $b = 4$ .

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Passaggio 3.5.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$\frac{2 (- x^{2} + (2 + 2) x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} + 2 x + 2 x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.5.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{2 ((- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{2 (x (- x + 2) - 2 (- x + 2))}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 2$ .

$\frac{2 ((- x + 2) (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

$\frac{2 (- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 3.5.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3.2

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (x - 2)) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3.4

Riscrivi $- (x - 2)$ come $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 2)) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3.5

Eleva $x - 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3.6

Eleva $x - 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3.9

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x \cdot x - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.2

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.6.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x (x - 2))}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Applica la regola del prodotto a $x (x - 2)$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{x^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ .

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Passaggio 3.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{x^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x^{2}}$