Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{3}}{1 - x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(1 - x^{2}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $1 - x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + 1 x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{3} (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x \cdot x^{3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{1} x^{3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{1 + 3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{4} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + 2 \cdot x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(3 \cdot 1 + 3 (- x^{2})) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- (x^{2} x^{2})) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{2 + 2}) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{4}) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x^{4} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Somma $- 3 x^{4}$ e $2 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{2} - x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Riordina i termini.

$\frac{- x^{4} + 3 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{4} + 3 x^{2}$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + 3 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.6.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.6.2

Riordina $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5.6.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

Passaggio 5.6.4

Applica la regola del prodotto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 5.7

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- (x^{2}) + 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 5.8

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{x^{2} (- (x^{2}) - 1 (- 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 5.9

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{x^{2} (- (x^{2} - 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 5.10

Riscrivi $- (x^{2} - 3)$ come $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{x^{2} (- 1 (x^{2} - 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 5.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2} (x^{2} - 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$