Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{5}}{4 - x^{4}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 4 - x^{4}$ .

$\frac{(4 - x^{4}) \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [4 - x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{(4 - x^{4}) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} [4 - x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sposta $5$ alla sinistra di $4 - x^{4}$ .

$\frac{5 \cdot (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [4 - x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4}])}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{4}])}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [- x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + 1 x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{5} (4 x^{3})}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica $x^{5}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{3} x^{5} \cdot 4}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{3 + 5} \cdot 4}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $3$ e $5$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{8} \cdot 4}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 4

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{8}$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + 4 \cdot x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(5 \cdot 4 + 5 (- x^{4})) x^{4} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 \cdot 4 x^{4} + 5 (- x^{4}) x^{4} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{20 x^{4} + 5 (- x^{4}) x^{4} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Sposta $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4} + 5 (- (x^{4} x^{4})) + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{20 x^{4} + 5 (- x^{4 + 4}) + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.3

Somma $4$ e $4$ .

$\frac{20 x^{4} + 5 (- x^{8}) + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{20 x^{4} - 5 x^{8} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Somma $- 5 x^{8}$ e $4 x^{8}$ .

$\frac{20 x^{4} - x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Riordina i termini.

$\frac{- x^{8} + 20 x^{4}}{{(- x^{4} + 4)}^{2}}$