Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{5}}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = {(x^{2} - 6)}^{6}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{6}]}{{({(x^{2} - 6)}^{6})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 6)}^{6})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{6}]}{{(x^{2} - 6)}^{6 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{6}]}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{6} (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{6}]}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 2.3

Sposta $5$ alla sinistra di ${(x^{2} - 6)}^{6}$ .

$\frac{5 \cdot {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{6}]}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = x^{2} - 6$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 6$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - x^{5} (6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 6$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - x^{5} (6 {(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 4.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} (2 x))}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 4.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} (2 \cdot {(x^{2} - 6)}^{5} x)}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 12 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} x)}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 12 (x^{1} x^{5}) {(x^{2} - 6)}^{5}}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 12 x^{1 + 5} {(x^{2} - 6)}^{5}}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 7

Somma $1$ e $5$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 12 x^{6} {(x^{2} - 6)}^{5}}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1

Scomponi ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4}$ da $5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 12 x^{6} {(x^{2} - 6)}^{5}$ .

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Passaggio 8.1.1.1

Scomponi ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4}$ da $5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 (x^{2} - 6)) - 12 x^{6} {(x^{2} - 6)}^{5}}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 8.1.1.2

Scomponi ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4}$ da $- 12 x^{6} {(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 (x^{2} - 6)) + {(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (- 12 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 8.1.1.3

Scomponi ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4}$ da ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 (x^{2} - 6)) + {(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (- 12 x^{2})$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 (x^{2} - 6) - 12 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 8.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 x^{2} + 5 \cdot - 6 - 12 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica $5$ per $- 6$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 x^{2} - 30 - 12 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 8.1.4

Sottrai $12 x^{2}$ da $5 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (- 7 x^{2} - 30)}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} - 6)}^{5}$ e ${(x^{2} - 6)}^{12}$ .

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Passaggio 8.2.1

Scomponi ${(x^{2} - 6)}^{5}$ da ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (- 7 x^{2} - 30)$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (x^{4} (- 7 x^{2} - 30))}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.2.2.1

Scomponi ${(x^{2} - 6)}^{5}$ da ${(x^{2} - 6)}^{12}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (x^{4} (- 7 x^{2} - 30))}{{(x^{2} - 6)}^{5} {(x^{2} - 6)}^{7}}$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (x^{4} (- 7 x^{2} - 30))}{{(x^{2} - 6)}^{5} {(x^{2} - 6)}^{7}}$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{4} (- 7 x^{2} - 30)}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$

Passaggio 8.3

Scomponi $- 1$ da $- 7 x^{2}$ .

$\frac{x^{4} (- (7 x^{2}) - 30)}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$

Passaggio 8.4

Riscrivi $- 30$ come $- 1 (30)$ .

$\frac{x^{4} (- (7 x^{2}) - 1 (30))}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$

Passaggio 8.5

Scomponi $- 1$ da $- (7 x^{2}) - 1 (30)$ .

$\frac{x^{4} (- (7 x^{2} + 30))}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$

Passaggio 8.6

Riscrivi $- (7 x^{2} + 30)$ come $- 1 (7 x^{2} + 30)$ .

$\frac{x^{4} (- 1 (7 x^{2} + 30))}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$

Passaggio 8.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{4} (7 x^{2} + 30)}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$