Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{x^{3}}{3}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x)}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3} \ln (x)}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 2.4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 2.6

$x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 2.7

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 2.7.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 2.7.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 2.7.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 2.7.2.5

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- \frac{1}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{3}}{9}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} (3 x^{2})$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - 3 (\frac{1}{9}) x^{2}$

Passaggio 3.4

$- 3$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3}{9} x^{2}$

Passaggio 3.5

$\frac{- 3}{9}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3 x^{2}}{9}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{9}$

Passaggio 3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (3)}$

Passaggio 3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- x^{2}}{3}$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} (\ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

$\ln (x)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{\ln (x)}{3} (3 x^{2}) - \frac{x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2.2

$3$ e $\frac{\ln (x)}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x)}{3} x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2.3

$\frac{3 \ln (x)}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2.4.2

Dividi $\ln (x) x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2.5

Per scrivere $\frac{1}{3} x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{1}{3} x^{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2.6

$\frac{1}{3} x^{2}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2}}{3} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2.9

$\frac{x^{2}}{3}$ e $3$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{3} - x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2.10

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 \cdot x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2.11

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.11.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2.11.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{x^{2} - x^{2}}{3}$

Passaggio 4.2.12

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{3}$

Passaggio 4.2.13

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.13.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 (0)}{3}$

Passaggio 4.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.13.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{1}$

Passaggio 4.2.13.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\ln (x) x^{2} + 0$

Passaggio 4.2.14

Somma $\ln (x) x^{2}$ e $0$ .

$\ln (x) x^{2}$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori di $\ln (x) x^{2}$ .

$x^{2} \ln (x)$