Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 2.8

Sottrai $4$ da $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ .

$- 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{3}$ .

$- 2 x^{- 3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 2 x^{- 3} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{3}$ .

$- 2 x^{- 3} - (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 2 x^{- 3} - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 x^{- 3} - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 3} - (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 2 x^{- 3} - (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 2 x^{- 3} - (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.8

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.8.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 2 x^{- 3} - (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.8.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 x^{- 3} - (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.8.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$- 2 x^{- 3} - (- 3 x^{- 4}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.9

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- 2 x^{- 3} + 3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.10

Moltiplica $\frac{1}{x^{3}}$ per $0$ .

$- 2 x^{- 3} + 3 x^{- 4} + 0$

Passaggio 3.11

Somma $3 x^{- 4}$ e $0$ .

$- 2 x^{- 3} + 3 x^{- 4}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 3 x^{- 4}$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 3 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}} + 3 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x^{3}} + 3 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 4.3.3

$3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}}$