Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{196 x^{8} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{196 x^{8} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}]$ come $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot (14 x^{4} + \frac{15}{x})]$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $196 x^{8}$ come ${(14 x^{4})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $225$ come $15^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + \frac{15^{2}}{x^{2}}}]$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi $\frac{15^{2}}{x^{2}}$ come ${(\frac{15}{x})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + {(\frac{15}{x})}^{2}}]$

Passaggio 1.1.4

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$420 x^{3} = 2 \cdot (14 x^{4}) \cdot \frac{15}{x}$

Passaggio 1.1.5

Riscrivi il polinomio.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 2 \cdot (14 x^{4}) \cdot \frac{15}{x} + {(\frac{15}{x})}^{2}}]$

Passaggio 1.1.6

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 14 x^{4}$ e $b = \frac{15}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4} + \frac{15}{x})}^{2}}]$

Passaggio 1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot (14 x^{4} + \frac{15}{x})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \frac{1}{x^{4}}$ e $g (x) = 14 x^{4} + \frac{15}{x}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [14 x^{4} + \frac{15}{x}] + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $14 x^{4} + \frac{15}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [14 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]$ .

$\frac{1}{x^{4}} (\frac{d}{d x} [14 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14 x^{4}$ rispetto a $x$ è $14 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{x^{4}} (14 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4}} (14 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $4$ per $14$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.5

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{15}{x}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.6

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 (- x^{- 2})) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.8.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 3.8.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.8.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Passaggio 3.8.3.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3}) + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3}) + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.5.1

$56$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{56}{x^{4}} x^{3} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.2

$\frac{56}{x^{4}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{56 x^{3}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.3

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{4}$ .

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Passaggio 4.5.3.1

Scomponi $x^{3}$ da $56 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.5.3.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.4

$- 15$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{- 15}{x^{2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{15}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.6

Moltiplica $\frac{1}{x^{4}}$ per $\frac{15}{x^{2}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{4} x^{2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.7

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.5.7.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{4 + 2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.7.2

Somma $4$ e $2$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.8

$- 4$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} \frac{- 4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} (- \frac{4}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.10

Moltiplica $- 1$ per $14$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - 14 x^{4} \frac{4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.11

$- 14$ e $\frac{4}{x^{5}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + x^{4} \frac{- 14 \cdot 4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.12

Moltiplica $- 14$ per $4$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + x^{4} \frac{- 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.13

$x^{4}$ e $\frac{- 56}{x^{5}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.14

Sposta $- 56$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{- 56 \cdot x^{4}}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.15

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.15.1

Scomponi $x^{4}$ da $- 56 x^{4}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.15.2.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{4} x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{4} x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{- 56}{x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.17

$- 4$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} \cdot \frac{- 4}{x^{5}}$

Passaggio 4.5.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Passaggio 4.5.19

Moltiplica $\frac{15}{x}$ per $\frac{4}{x^{5}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{15 \cdot 4}{x \cdot x^{5}}$

Passaggio 4.5.20

Moltiplica $15$ per $4$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x \cdot x^{5}}$

Passaggio 4.5.21

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.21.1

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.21.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{1} x^{5}}$

Passaggio 4.5.21.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{1 + 5}}$

Passaggio 4.5.21.2

Somma $1$ e $5$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{6}}$

Passaggio 4.5.22

Sottrai $\frac{56}{x}$ da $\frac{56}{x}$ .

$- \frac{15}{x^{6}} + 0 - \frac{60}{x^{6}}$

Passaggio 4.5.23

Somma $- \frac{15}{x^{6}}$ e $0$ .

$- \frac{15}{x^{6}} - \frac{60}{x^{6}}$

Passaggio 4.5.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 15 - 60}{x^{6}}$

Passaggio 4.5.25

Sottrai $60$ da $- 15$ .

$\frac{- 75}{x^{6}}$

Passaggio 4.5.26

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{75}{x^{6}}$