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Calcolo Esempi
Passaggio 1
Scrivi come funzione.
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Trova la derivata seconda.
Passaggio 2.1.1
Trova la derivata prima.
Passaggio 2.1.1.1
Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui è dove e .
Passaggio 2.1.1.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.3
Differenzia usando la regola della potenza.
Passaggio 2.1.1.3.1
e .
Passaggio 2.1.1.3.2
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 2.1.1.3.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.1.1.3.2.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 2.1.1.3.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.1.1.3.2.2.2
Scomponi da .
Passaggio 2.1.1.3.2.2.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.1.1.3.2.2.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.1.1.3.2.2.5
Dividi per .
Passaggio 2.1.1.3.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.1.3.4
Riordina i termini.
Passaggio 2.1.2
Trova la derivata seconda.
Passaggio 2.1.2.1
Differenzia.
Passaggio 2.1.2.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.1.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.2.2
Calcola .
Passaggio 2.1.2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.2.2
Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui è dove e .
Passaggio 2.1.2.2.3
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.2.4
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.2.2.5
e .
Passaggio 2.1.2.2.6
Elimina il fattore comune di e .
Passaggio 2.1.2.2.6.1
Scomponi da .
Passaggio 2.1.2.2.6.2
Elimina i fattori comuni.
Passaggio 2.1.2.2.6.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.1.2.2.6.2.2
Scomponi da .
Passaggio 2.1.2.2.6.2.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.1.2.2.6.2.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.1.2.2.6.2.5
Dividi per .
Passaggio 2.1.2.3
Semplifica.
Passaggio 2.1.2.3.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.1.2.3.2
Raccogli i termini.
Passaggio 2.1.2.3.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.2.3.2.2
Somma e .
Passaggio 2.1.2.3.3
Riordina i termini.
Passaggio 2.1.3
La derivata seconda di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Imposta la derivata seconda pari a , quindi risolvi l'equazione .
Passaggio 2.2.1
Imposta la derivata seconda uguale a .
Passaggio 2.2.2
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 2.2.3
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Passaggio 2.2.3.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 2.2.3.2
Semplifica il lato sinistro.
Passaggio 2.2.3.2.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 2.2.3.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.2.3.2.1.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.2.3.2.2
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 2.2.3.2.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.2.3.2.2.2
Dividi per .
Passaggio 2.2.3.3
Semplifica il lato destro.
Passaggio 2.2.3.3.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 2.2.3.3.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.2.3.3.1.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.2.3.3.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 2.2.4
Per risolvere per , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.
Passaggio 2.2.5
Riscrivi in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se e sono numeri reali positivi e , allora è equivalente a .
Passaggio 2.2.6
Risolvi per .
Passaggio 2.2.6.1
Riscrivi l'equazione come .
Passaggio 2.2.6.2
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 3
Passaggio 3.1
Imposta l'argomento in in modo che sia maggiore di per individuare dove l'espressione è definita.
Passaggio 3.2
Il dominio è formato da tutti i valori di che rendono definita l'espressione.
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Passaggio 4
Crea intervalli attorno ai valori di per cui la derivata seconda è zero o indefinita.
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 5.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 5.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 5.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.5
Semplifica spostando all'interno del logaritmo.
Passaggio 5.2.1.6
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.2
Somma e .
Passaggio 5.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 5.3
Il grafico è una funzione concava sull'intervallo perché è negativo.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione concava su poiché è negativo
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 6.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 6.2.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 6.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 6.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 6.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.1.5
Semplifica spostando all'interno del logaritmo.
Passaggio 6.2.2
La risposta finale è .
Passaggio 6.3
Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo perché è positivo.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 7
Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 8