Calcolo Esempi

Trovare la Concavità x^5 logaritmo naturale di x
Passaggio 1
Scrivi come funzione.
Passaggio 2
Find the values where the second derivative is equal to .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Trova la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1.1
Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui è dove e .
Passaggio 2.1.1.2
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.1.3
Differenzia usando la regola della potenza.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1.3.1
e .
Passaggio 2.1.1.3.2
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1.3.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.1.1.3.2.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1.3.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.1.1.3.2.2.2
Scomponi da .
Passaggio 2.1.1.3.2.2.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.1.1.3.2.2.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.1.1.3.2.2.5
Dividi per .
Passaggio 2.1.1.3.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.1.3.4
Riordina i termini.
Passaggio 2.1.2
Trova la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.1
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.1.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.2.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.2.2
Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui è dove e .
Passaggio 2.1.2.2.3
La derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.1.2.2.4
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.1.2.2.5
e .
Passaggio 2.1.2.2.6
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.2.6.1
Scomponi da .
Passaggio 2.1.2.2.6.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.2.6.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.1.2.2.6.2.2
Scomponi da .
Passaggio 2.1.2.2.6.2.3
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.1.2.2.6.2.4
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.1.2.2.6.2.5
Dividi per .
Passaggio 2.1.2.3
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.3.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 2.1.2.3.2
Raccogli i termini.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.3.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.1.2.3.2.2
Somma e .
Passaggio 2.1.2.3.3
Riordina i termini.
Passaggio 2.1.3
La derivata seconda di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Imposta la derivata seconda pari a , quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Imposta la derivata seconda uguale a .
Passaggio 2.2.2
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 2.2.3
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.3.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 2.2.3.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.3.2.1
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.3.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.2.3.2.1.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.2.3.2.2
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.3.2.2.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.2.3.2.2.2
Dividi per .
Passaggio 2.2.3.3
Semplifica il lato destro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.3.3.1
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.3.3.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 2.2.3.3.1.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 2.2.3.3.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 2.2.4
Per risolvere per , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.
Passaggio 2.2.5
Riscrivi in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se e sono numeri reali positivi e , allora è equivalente a .
Passaggio 2.2.6
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.6.1
Riscrivi l'equazione come .
Passaggio 2.2.6.2
Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo .
Passaggio 3
Trova il dominio di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 3.1
Imposta l'argomento in in modo che sia maggiore di per individuare dove l'espressione è definita.
Passaggio 3.2
Il dominio è formato da tutti i valori di che rendono definita l'espressione.
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Passaggio 4
Crea intervalli attorno ai valori di per cui la derivata seconda è zero o indefinita.
Passaggio 5
Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 5.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.1.5
Semplifica spostando all'interno del logaritmo.
Passaggio 5.2.1.6
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.2
Somma e .
Passaggio 5.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 5.3
Il grafico è una funzione concava sull'intervallo perché è negativo.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione concava su poiché è negativo
Passaggio 6
Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 6.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 6.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 6.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.1.5
Semplifica spostando all'interno del logaritmo.
Passaggio 6.2.2
La risposta finale è .
Passaggio 6.3
Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo perché è positivo.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 7
Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 8