Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{{(4 x + 7)}^{3}}$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\frac{1}{{(4 x + 7)}^{3}}$ come ${({(4 x + 7)}^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(4 x + 7)}^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 x + 7)}^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{- 3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = 4 x + 7$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x + 7$ .

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} (4 + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 3.5

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} (4 + 0)$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} \cdot 4$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$- 12 {(4 x + 7)}^{- 4}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(4 x + 7)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$- 12$ e $\frac{1}{{(4 x + 7)}^{4}}$ .

$\frac{- 12}{{(4 x + 7)}^{4}}$

Passaggio 4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{12}{{(4 x + 7)}^{4}}$