Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)}$ come ${((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} - 1$ e $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1] + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 4.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1 + 0) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 4.5

Somma $2 x + 1$ e $0$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 4.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Passaggio 4.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (2 x + 0))$

Passaggio 4.9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.9.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (2 x))$

Passaggio 4.9.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + x + 1$ .

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 \cdot (x^{2} + x + 1) x)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 (x^{2} + x + 1) x)$

Passaggio 5.2

Applica la regola del prodotto a $(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 (x^{2} + x + 1) x)$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x)$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 5.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 5.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 5.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 5.5.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 5.5.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 5.5.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 5.5.7

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x)$

Passaggio 5.5.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x)$

Passaggio 5.6

Riordina i fattori di $- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x)$ .

$- ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.7.1

Espandi $(x^{2} - 1) (2 x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (x^{2} (2 x + 1) - 1 (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- (2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.7.2.2.1

Sposta $x$ .

$- (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$- (2 x^{3} + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$- (2 x^{3} + x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- (2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- (2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.8

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x$ .

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Passaggio 5.8.1

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$- (2 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 0) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.8.2

Somma $2 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2}$ e $0$ .

$- (2 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2}) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.9

Somma $2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$- (4 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{2}) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.10

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$- (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.11

Applica la proprietà distributiva.

$(- (4 x^{3}) - (3 x^{2}) - - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.12

Semplifica.

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Passaggio 5.12.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$(- 4 x^{3} - (3 x^{2}) - - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.12.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} - - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.12.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.13

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.13.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.13.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{((x + 1) (x - 1))}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.13.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.14

Moltiplica $- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ per $\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.15

Scomponi $- 1$ da $- 4 x^{3}$ .

$\frac{- (4 x^{3}) - 3 x^{2} + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.16

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (4 x^{3}) - (3 x^{2}) + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.17

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$\frac{- (4 x^{3} + 3 x^{2}) + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.18

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x^{3} + 3 x^{2}) - 1 (- 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.19

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{3} + 3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.20

Riscrivi $- (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)$ come $- 1 (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$