Calcolo Esempi

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Passaggio 1

Scrivi $y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ come funzione.

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $15 x^{4} - 15 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{4} - 15 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $4$ per $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 (2 x)$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 30 x$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $60 x^{3} - 30 x$ .

$60 x^{3} - 30 x$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $60 x^{3} - 30 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$60 x^{3} - 30 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $30 x$ da $60 x^{3} - 30 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $30 x$ da $60 x^{3}$ .

$30 x (2 x^{2}) - 30 x = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $30 x$ da $- 30 x$ .

$30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $30 x$ da $30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1)$ .

$30 x (2 x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $2 x^{2} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $2 x^{2} - 1$ uguale a $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $2 x^{2} - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} = 1$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.5.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.5.2.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $30 x (2 x^{2} - 1) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 3 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{3} + 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 1$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ è $(0, 1)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 1)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $\frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt{2}}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{5}$ come $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.2.3

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.3.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.2.3.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.2.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.2.1

Scomponi $4$ da $32$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.5

$3$ e $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.7.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.7.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.7.3

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.7.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.7.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.7.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.8

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{8} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.9

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.9.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 (\sqrt{2})}{8} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.9.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2}}{4} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.10

$- 5$ e $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Passaggio 4.3.2.2

Per scrivere $- \frac{5 \sqrt{2}}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Passaggio 4.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Passaggio 4.3.2.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Passaggio 4.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Passaggio 4.3.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1.1

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

Passaggio 4.3.2.5.1.2

Sottrai $10 \sqrt{2}$ da $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Passaggio 4.3.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Passaggio 4.3.2.6

La risposta finale è $- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ .

$- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $\frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ è $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Passaggio 4.5

Sostituisci $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}})) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.3.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{5}$ come $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.3.3

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.3.3.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.3.3.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.3.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.5.1

Scomponi $4$ da $4 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.5.2.1

Scomponi $4$ da $32$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.6

Moltiplica $3 (- \frac{\sqrt{2}}{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 3 \frac{\sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.6.2

$- 3$ e $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{(3) \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Passaggio 4.5.2.1.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.8.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) + 1$

Passaggio 4.5.2.1.8.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}})) + 1$

Passaggio 4.5.2.1.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 1$

Passaggio 4.5.2.1.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.10.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 1$

Passaggio 4.5.2.1.10.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 1$

Passaggio 4.5.2.1.10.3

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.10.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 1$

Passaggio 4.5.2.1.10.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 1$

Passaggio 4.5.2.1.10.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 1$

Passaggio 4.5.2.1.11

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 1$

Passaggio 4.5.2.1.12

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.12.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 (\sqrt{2})}{8}) + 1$

Passaggio 4.5.2.1.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.12.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

Passaggio 4.5.2.1.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

Passaggio 4.5.2.1.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

Passaggio 4.5.2.1.13

Moltiplica $- 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.13.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + 5 (\frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

Passaggio 4.5.2.1.13.2

$5$ e $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Passaggio 4.5.2.2

Per scrivere $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Passaggio 4.5.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.3.1

Moltiplica $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Passaggio 4.5.2.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Passaggio 4.5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Passaggio 4.5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.5.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

Passaggio 4.5.2.5.2

Somma $- 3 \sqrt{2}$ e $10 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Passaggio 4.5.2.6

La risposta finale è $\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ .

$\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Passaggio 4.6

Il punto trovato sostituendo $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ è $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Passaggio 4.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.80710678$ nell'espressione.

$f'' (- 0.80710678) = 60 {(- 0.80710678)}^{3} - 30 \cdot - 0.80710678$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.80710678$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.80710678) = 60 \cdot - 0.52576659 - 30 \cdot - 0.80710678$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $60$ per $- 0.52576659$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 - 30 \cdot - 0.80710678$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 30$ per $- 0.80710678$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 + 24.21320343$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 31.54599564$ e $24.21320343$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 7.3327922$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 7.3327922$ .

$- 7.3327922$

Passaggio 6.3

Per $- 0.80710678$ , la derivata seconda è $- 7.3327922$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.35355339$ nell'espressione.

$f'' (- 0.35355339) = 60 {(- 0.35355339)}^{3} - 30 \cdot - 0.35355339$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 0.35355339$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.35355339) = 60 \cdot - 0.04419417 - 30 \cdot - 0.35355339$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $60$ per $- 0.04419417$ .

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 - 30 \cdot - 0.35355339$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 30$ per $- 0.35355339$ .

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 + 10.60660171$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 2.65165042$ e $10.60660171$ .

$f'' (- 0.35355339) = 7.95495128$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $7.95495128$ .

$7.95495128$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- 0.35355339$ , la derivata seconda è $7.95495128$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ .

Crescente su $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.35355339$ nell'espressione.

$f'' (0.35355339) = 60 {(0.35355339)}^{3} - 30 \cdot 0.35355339$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.35355339$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.35355339) = 60 \cdot 0.04419417 - 30 \cdot 0.35355339$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $60$ per $0.04419417$ .

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 30 \cdot 0.35355339$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 30$ per $0.35355339$ .

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 10.60660171$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $10.60660171$ da $2.65165042$ .

$f'' (0.35355339) = - 7.95495128$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 7.95495128$ .

$- 7.95495128$

Passaggio 8.3

Per $0.35355339$ , la derivata seconda è $- 7.95495128$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Decrescente su $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.80710678$ nell'espressione.

$f'' (0.80710678) = 60 {(0.80710678)}^{3} - 30 \cdot 0.80710678$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Eleva $0.80710678$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.80710678) = 60 \cdot 0.52576659 - 30 \cdot 0.80710678$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $60$ per $0.52576659$ .

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 30 \cdot 0.80710678$

Passaggio 9.2.1.3

Moltiplica $- 30$ per $0.80710678$ .

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 24.21320343$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $24.21320343$ da $31.54599564$ .

$f'' (0.80710678) = 7.3327922$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $7.3327922$ .

$7.3327922$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $0.80710678$ , la derivata seconda è $7.3327922$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Passaggio 11