Calcolo Esempi

$y = \frac{2 x^{2} + 3}{\cos (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x^{2} + 3$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\cos (x) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\cos (x) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\cos (x) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\cos (x) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.6

Somma $4 x$ e $0$ .

$\frac{\cos (x) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (4 x) - (2 x^{2} + 3) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4

Moltiplica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\cos (x) (4 x) + 1 (2 x^{2} + 3) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2 x^{2} + 3$ per $1$ .

$\frac{\cos (x) (4 x) + (2 x^{2} + 3) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (x) (4 x) + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 5.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 \cos (x) x + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.2

Riordina i fattori in $4 \cos (x) x + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)$ .

$\frac{4 x \cos (x) + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$