Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{5 x^{4}} - \frac{5}{3 x^{2}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{5 x^{4}} - \frac{5}{3 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{4}}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{5 x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{4}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{5} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{4}$ .

$\frac{1}{5} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{5} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{1}{5} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1}{5} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{5} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$\frac{1}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.8

$- 4$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{- 4}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.9

$\frac{- 4}{5}$ e $x^{- 5}$ .

$\frac{- 4 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.10

Sposta $x^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- \frac{5}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5}{3 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Passaggio 3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 3.10

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} + 2 (\frac{5}{3}) x^{- 3}$

Passaggio 3.11

$2$ e $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{2 \cdot 5}{3} x^{- 3}$

Passaggio 3.12

Moltiplica $2$ per $5$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{10}{3} x^{- 3}$

Passaggio 3.13

$\frac{10}{3}$ e $x^{- 3}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{10 x^{- 3}}{3}$

Passaggio 3.14

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{10}{3 x^{3}}$

Passaggio 4

Riordina i termini.

$\frac{10}{3 x^{3}} - \frac{4}{5 x^{5}}$