Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{5 x^{2}} + \frac{1}{9 x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{5 x^{2}} + \frac{1}{9 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{2}}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{5 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{1}{5} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{5} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{5} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{5} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{1}{5} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2.10

$- 2$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{- 2}{5} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2.11

$\frac{- 2}{5}$ e $x^{- 3}$ .

$\frac{- 2 x^{- 3}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2.12

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{5 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 2.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{9 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{1}{9} (- x^{- 2})$

Passaggio 3.4

$\frac{1}{9}$ e $x^{- 2}$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} - \frac{x^{- 2}}{9}$

Passaggio 3.5

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{5 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{2}}$

Passaggio 4

Riordina i termini.

$- \frac{1}{9 x^{2}} - \frac{2}{5 x^{3}}$