Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 3.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - x^{2 \cdot - 2} (2 x)$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- x^{- 2} - x^{- 4} (2 x)$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 4} x$

Passaggio 3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (x^{1} x^{- 4})$

Passaggio 3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- x^{- 2} - 2 x^{1 - 4}$

Passaggio 3.8

Sottrai $4$ da $1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3}$

Passaggio 4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 x^{- 3}$

Passaggio 5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 6

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Passaggio 6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$