Calcolo Esempi

$y = 3 x^{2} \sin (2 x)$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2} \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (2 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (2 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$3 (x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$3 (x^{2} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (x^{2} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (2 x))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x^{2} (2 \cos (2 x))) + 3 (\sin (2 x) (2 x))$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 (x^{2} (\cos (2 x))) + 3 (\sin (2 x) (2 x))$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x^{2} \cos (2 x) + 6 \sin (2 x) x$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$6 x^{2} \cos (2 x) + 6 x \sin (2 x)$