Calcolo Esempi

$y = \frac{4 x}{\log_{4} (x)}$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x}{\log_{4} (x)}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{4} (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{4} (x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \log_{4} (x)$ .

$4 \frac{\log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{\log_{4} (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\log_{4} (x)$ per $1$ .

$4 \frac{\log_{4} (x) - x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 4

La derivata di $\log_{4} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$4 \frac{\log_{4} (x) - x \frac{1}{x \ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{x \ln (4)}$ e $x$ .

$4 \frac{\log_{4} (x) - \frac{x}{x \ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{\log_{4} (x) - \frac{x}{x \ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{\log_{4} (x) - \frac{1}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 5.3

$4$ e $\frac{\log_{4} (x) - \frac{1}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$ .

$\frac{4 (\log_{4} (x) - \frac{1}{\ln (4)})}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 \log_{4} (x) + 4 (- \frac{1}{\ln (4)})}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica $4 \log_{4} (x)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + 4 (- \frac{1}{\ln (4)})}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $4 (- \frac{1}{\ln (4)})$ .

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Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{\log_{4} (x^{4}) - 4 \frac{1}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 6.2.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 4}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi $\ln (4)$ come $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 4}{\ln (2^{2})}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 6.2.4

Espandi $\ln (2^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 4}{2 \ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 6.2.5

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

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Passaggio 6.2.5.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 6.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $2 \ln (2)$ .

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (\ln (2))}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 6.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 6.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 2}{\ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Passaggio 6.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) - \frac{2}{\ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$