Calcolo Esempi

$y = 5^{\sin (π x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 5^{x}$ e $g (x) = \sin (π x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (π x)$ .

$5^{\sin (π x)} \ln (5) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $π x$ .

$5^{\sin (π x)} \ln (5) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$5^{\sin (π x)} \ln (5) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $π x$ .

$5^{\sin (π x)} \ln (5) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{\sin (π x)} \ln (5) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5^{\sin (π x)} \ln (5) \cos (π x) (π \cdot 1)$

Passaggio 3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$5^{\sin (π x)} \ln (5) \cos (π x) π$

Passaggio 3.3.2

Riordina i fattori di $5^{\sin (π x)} \ln (5) \cos (π x) π$ .

$π \cdot 5^{\sin (π x)} \cos (π x) \ln (5)$