Calcolo Esempi

$y = \frac{5}{1 + e^{3 x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{1 + e^{3 x}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{3 x}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{3 x}}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{1}{1 + e^{3 x}}$ come ${(1 + e^{3 x})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{3 x})}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + e^{3 x}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $1 + e^{3 x}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + e^{3 x}$ .

$5 (- {(1 + e^{3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 ({(1 + e^{3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

Passaggio 3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 5.2

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$- 15 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 15 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} \cdot 1)$

Passaggio 5.4

Moltiplica $e^{3 x}$ per $1$ .

$- 15 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} e^{3 x}$

Passaggio 6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{{(1 + e^{3 x})}^{2}} e^{3 x}$

Passaggio 7

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.1

$- 15$ e $\frac{1}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$ .

$\frac{- 15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}} e^{3 x}$

Passaggio 7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}} e^{3 x}$

Passaggio 7.3

$e^{3 x}$ e $\frac{15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$ .

$- \frac{e^{3 x} \cdot 15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$

Passaggio 7.4

Sposta $15$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$- \frac{15 e^{3 x}}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$