Calcolo Esempi

$y = \frac{42}{\sqrt{49 + x^{2}}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{49 + x^{2}}$ come ${(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $42$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $42 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$42 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ come ${({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$42 \frac{d}{d x} [{({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 1.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 49 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $49 + x^{2}$ .

$42 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $49 + x^{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Passaggio 8

${(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$42 (- \frac{{(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta ${(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$42 (- \frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Passaggio 9.2

Moltiplica $- 1$ per $42$ .

$- 42 (\frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

Passaggio 10

$\frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ e $- 42$ .

$\frac{- 42}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Passaggio 11

Scomponi $2$ da $- 42$ .

$\frac{2 \cdot - 21}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Passaggio 12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Scomponi $2$ da $2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 21}{2 ({(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 21}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Passaggio 12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Passaggio 13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

Passaggio 14

Secondo la regola della somma, la derivata di $49 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 15

Poiché $49$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $49$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 16

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 17

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Passaggio 18

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Passaggio 18.2

$- 2$ e $\frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Passaggio 18.3

Moltiplica $- 2$ per $21$ .

$\frac{- 42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Passaggio 18.4

$\frac{- 42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 42 x}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{42 x}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$