Calcolo Esempi

$y = \frac{4 x - 1}{8 x + 7}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 4 x - 1$ e $g (x) = 8 x + 7$ .

$\frac{(8 x + 7) \frac{d}{d x} [4 x - 1] - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [8 x + 7]}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(8 x + 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [8 x + 7]}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 x + 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [8 x + 7]}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(8 x + 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [8 x + 7]}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{(8 x + 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [8 x + 7]}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(8 x + 7) (4 + 0) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [8 x + 7]}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{(8 x + 7) \cdot 4 - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [8 x + 7]}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $8 x + 7$ .

$\frac{4 \cdot (8 x + 7) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [8 x + 7]}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{4 (8 x + 7) - (4 x - 1) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (8 x + 7) - (4 x - 1) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 (8 x + 7) - (4 x - 1) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{4 (8 x + 7) - (4 x - 1) (8 + \frac{d}{d x} [7])}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 (8 x + 7) - (4 x - 1) (8 + 0)}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.12.1

Somma $8$ e $0$ .

$\frac{4 (8 x + 7) - (4 x - 1) \cdot 8}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{4 (8 x + 7) - 8 (4 x - 1)}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (8 x) + 4 \cdot 7 - 8 (4 x - 1)}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (8 x) + 4 \cdot 7 - 8 (4 x) - 8 \cdot - 1}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $8$ per $4$ .

$\frac{32 x + 4 \cdot 7 - 8 (4 x) - 8 \cdot - 1}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $4$ per $7$ .

$\frac{32 x + 28 - 8 (4 x) - 8 \cdot - 1}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$\frac{32 x + 28 - 32 x - 8 \cdot - 1}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$\frac{32 x + 28 - 32 x + 8}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Combina i termini opposti in $32 x + 28 - 32 x + 8$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $32 x$ da $32 x$ .

$\frac{0 + 28 + 8}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $0$ e $28$ .

$\frac{28 + 8}{{(8 x + 7)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $28$ e $8$ .

$\frac{36}{{(8 x + 7)}^{2}}$