Calcolo Esempi

$y = 2^{x} \csc (2 x) + \ln (\cos (x))$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2^{x} \csc (2 x) + \ln (\cos (x))$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2^{x} \csc (2 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ .

$\frac{d}{d x} [2^{x} \csc (2 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [2^{x} \csc (2 x)]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2^{x}$ e $g (x) = \csc (2 x)$ .

$2^{x} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$2^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\csc (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$2^{x} (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Passaggio 2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \cdot 1)) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $2$ .

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \cdot 1)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 2) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\cos (x)$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Passaggio 3.3

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \sec (x) (- \sin (x))$

Passaggio 4

Riordina i termini.

$- 2 \cdot 2^{x} \cot (2 x) \csc (2 x) + 2^{x} \csc (2 x) \ln (2) - \sec (x) \sin (x)$