Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{\ln (3 x)}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{\ln (3 x)}$ come $\ln^{- 1} (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (3 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \ln (3 x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (3 x)$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$- \ln^{- 2} (3 x) (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{3 x}$ e $\ln^{- 2} (3 x)$ .

$- \frac{\ln^{- 2} (3 x)}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 4.2

Sposta $\ln^{- 2} (3 x)$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 4.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.4.2

$- 3$ e $\frac{1}{3 x \ln^{2} (3 x)}$ .

$\frac{- 3}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.4.3

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

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Passaggio 4.4.3.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.4.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 x \ln^{2} (3 x)$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x \ln^{2} (3 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x \ln^{2} (3 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x \ln^{2} (3 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{x \ln^{2} (3 x)} \cdot 1$

Passaggio 4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{x \ln^{2} (3 x)}$