Calcolo Esempi

$y = {(5 - 2 x)}^{- 3} + \frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(5 - 2 x)}^{- 3} + \frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(5 - 2 x)}^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 - 2 x)}^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [{(5 - 2 x)}^{- 3}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = 5 - 2 x$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [5 - 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [5 - 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 - 2 x$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [5 - 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Passaggio 2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 - 2) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Passaggio 2.7

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [{(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [{(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{2}{x} + 1$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{2}{x} + 1$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} + 1])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} + 1])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{2}{x} + 1$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} + 1])$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2}{x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 (- x^{- 2}) + 0))$

Passaggio 3.8

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (- 2 x^{- 2} + 0))$

Passaggio 3.9

Somma $- 2 x^{- 2}$ e $0$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (- 2 x^{- 2}))$

Passaggio 3.10

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (- 8 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} x^{- 2})$

Passaggio 3.11

$- 8$ e $\frac{1}{8}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- 8}{8} ({(\frac{2}{x} + 1)}^{3} x^{- 2})$

Passaggio 3.12

${(\frac{2}{x} + 1)}^{3}$ e $\frac{- 8}{8}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \cdot - 8}{8} x^{- 2}$

Passaggio 3.13

$\frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \cdot - 8}{8}$ e $x^{- 2}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \cdot - 8 x^{- 2}}{8}$

Passaggio 3.14

Sposta $- 8$ alla sinistra di ${(\frac{2}{x} + 1)}^{3}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- 8 \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} x^{- 2}}{8}$

Passaggio 3.15

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- 8 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{8 x^{2}}$

Passaggio 3.16

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $8$ .

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Passaggio 3.16.1

Scomponi $8$ da $- 8 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{8 (- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3})}{8 x^{2}}$

Passaggio 3.16.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.16.2.1

Scomponi $8$ da $8 x^{2}$ .

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{8 (- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3})}{8 (x^{2})}$

Passaggio 3.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{8 (- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3})}{8 x^{2}}$

Passaggio 3.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 3.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(5 - 2 x)}^{4}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.1.1

$6$ e $\frac{1}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ .

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Per scrivere $\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Per scrivere $- \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ .

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$

Passaggio 5.1.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${(5 - 2 x)}^{4} x^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.1.4.1

Moltiplica $\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(5 - 2 x)}^{4} x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$

Passaggio 5.1.4.2

Moltiplica $\frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$ per $\frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(5 - 2 x)}^{4} x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} {(5 - 2 x)}^{4}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

Passaggio 5.1.4.3

Riordina i fattori di ${(5 - 2 x)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} {(5 - 2 x)}^{4}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

Passaggio 5.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6 x^{2} - {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} {(5 - 2 x)}^{4}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

Passaggio 5.2

Riordina i termini.

$\frac{6 x^{2} - {(5 - 2 x)}^{4} {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$