Calcolo Esempi

$y = \frac{5 x - 2}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 5 x - 2$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 2] - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 + 0) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $5$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 5 - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$\frac{5 \cdot (x^{2} + 1) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - 2 (5 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 1 - 2 (5 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 1 + (- 2 (5 x) - 2 \cdot - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 1 - 2 (5 x) x - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 2 (5 x) x - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 2 (5 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 2 (5 x^{2}) - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 10 x^{2} - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 10 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $10 x^{2}$ da $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 5 + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$\frac{- 5 x^{2} + 4 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Scomponi $- 1$ da $- 5 x^{2}$ .

$\frac{- (5 x^{2}) + 4 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Scomponi $- 1$ da $4 x$ .

$\frac{- (5 x^{2}) - (- 4 x) + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $- (5 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 4 x) + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 4 x) - 1 (- 5)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Scomponi $- 1$ da $- (5 x^{2} - 4 x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 4 x - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Riscrivi $- (5 x^{2} - 4 x - 5)$ come $- 1 (5 x^{2} - 4 x - 5)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{2} - 4 x - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 x^{2} - 4 x - 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$