Calcolo Esempi

$y = {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{7}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = \sin (x) + 5 \cos (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x) + 5 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + 5 \cos (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\sin (x) + 5 \cos (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x) + 5 \cos (x)$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} \frac{d}{d x} [\sin (x) + 5 \cos (x)]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + 5 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])$

Passaggio 3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])$

Passaggio 4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 5

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) + 5 (- \sin (x)))$

Passaggio 6

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) - 5 \sin (x))$