Calcolo Esempi

$y = \frac{{(3 x - 2)}^{6}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(3 x - 2)}^{6}$ e $g (x) = {(2 x + 5)}^{4}$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{({(2 x + 5)}^{4})}^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x + 5)}^{4})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{4 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x - 2$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x - 2$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} (6 {(3 x - 2)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta $6$ alla sinistra di ${(2 x + 5)}^{4}$ .

$\frac{6 \cdot {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 4.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 4.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 + 0) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 4.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} \cdot 3 - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 4.7.2

Moltiplica $3$ per $6$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 2 x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x + 5$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x + 5$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} (4 {(2 x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 6.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 6.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 6.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 6.6

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 + 0))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 6.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} \cdot 2)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 6.7.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 x + 5)}^{3}$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} (2 \cdot {(2 x + 5)}^{3})}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 6.7.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ da $18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Scomponi $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ da $18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5}$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5)) - 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 7.1.1.2

Scomponi $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ da $- 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5)) + 2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (- 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 7.1.1.3

Scomponi $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ da $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5)) + 2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (- 4 (3 x - 2))$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5) - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 7.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x) + 9 \cdot 5 - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 9 \cdot 5 - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $9$ per $5$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 7.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 2)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 7.1.6

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 12 x - 4 \cdot - 2)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 7.1.7

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 12 x + 8)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 7.1.8

Sottrai $12 x$ da $18 x$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 45 + 8)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 7.1.9

Somma $45$ e $8$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di ${(2 x + 5)}^{3}$ e ${(2 x + 5)}^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi ${(2 x + 5)}^{3}$ da $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53)$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{3} (2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi ${(2 x + 5)}^{3}$ da ${(2 x + 5)}^{8}$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{3} (2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53))}{{(2 x + 5)}^{3} {(2 x + 5)}^{5}}$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(2 x + 5)}^{3} (2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53))}{{(2 x + 5)}^{3} {(2 x + 5)}^{5}}$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53)}{{(2 x + 5)}^{5}}$