Calcolo Esempi

$y = \sin^{2} (x) (x^{3})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin^{2} (x)$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 \sin (x) \cos (x))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i termini.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 x^{3} \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Aggiungi le parentesi.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 x^{3} (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 5.2.2

Riordina $2 x^{3}$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (2 x^{3})$

Passaggio 5.2.3

Aggiungi le parentesi.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) x^{3}$

Passaggio 5.2.4

Riordina $\cos (x)$ e $\sin (x) \cdot 2$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) x^{3}$

Passaggio 5.2.5

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) x^{3}$

Passaggio 5.2.6

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (2 x) x^{3}$

Passaggio 5.3

Riordina i fattori in $3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (2 x) x^{3}$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + x^{3} \sin (2 x)$