Calcolo Esempi

$y = \frac{\log_{6} (x)}{3 + x^{6}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \log_{6} (x)$ e $g (x) = 3 + x^{6}$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{d}{d x} [\log_{6} (x)] - \log_{6} (x) \frac{d}{d x} [3 + x^{6}]}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 2

La derivata di $\log_{6} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x \ln (6)}$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) \frac{d}{d x} [3 + x^{6}]}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + x^{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{6}])}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{6}])}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) (6 x^{5})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \frac{1}{x \ln (6)} + x^{6} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

$3$ e $\frac{1}{x \ln (6)}$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x^{6} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{6}$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x \cdot x^{5} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2.2

Scomponi $x$ da $x \ln (6)$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x \cdot x^{5} \frac{1}{x (\ln (6))} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x \cdot x^{5} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x^{5} \frac{1}{\ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.3

$x^{5}$ e $\frac{1}{\ln (6)}$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.4

Semplifica $- 6 \log_{6} (x)$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - \log_{6} (x^{6}) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Riordina i fattori in $\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - \log_{6} (x^{6}) x^{5}$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$ per $\frac{x \ln (6)}{x \ln (6)}$ .

$\frac{x \ln (6)}{x \ln (6)} \cdot \frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Combina.

$\frac{x \ln (6) (\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \ln (6) \frac{3}{x \ln (6)} + x \ln (6) \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $x \ln (6)$ .

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Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (6) \frac{3}{x \ln (6)} + x \ln (6) \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 + x \ln (6) \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $\ln (6)$ .

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Passaggio 4.3.5.1

Scomponi $\ln (6)$ da $x \ln (6)$ .

$\frac{3 + \ln (6) x \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 + \ln (6) x \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 + x \cdot x^{5} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.6.1

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ .

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Passaggio 4.3.6.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 + x^{1} x^{5} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.3.6.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 + x^{1 + 5} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.3.6.2

Somma $1$ e $5$ .

$\frac{3 + x^{6} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 + x^{6} + x^{5} x^{1} \ln (6) (- \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 + x^{6} + x^{5 + 1} \ln (6) (- \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.3.9

Somma $5$ e $1$ .

$\frac{3 + x^{6} + x^{6} \ln (6) (- \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$\frac{x^{6} - x^{6} \ln (6) \log_{6} (x^{6}) + 3}{x {(3 + x^{6})}^{2} \ln (6)}$