Calcolo Esempi

$y = {(3 x - \frac{2}{x})}^{8}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = 3 x - \frac{2}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - \frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [3 x - \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$8 u^{7} \frac{d}{d x} [3 x - \frac{2}{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - \frac{2}{x}$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} \frac{d}{d x} [3 x - \frac{2}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - \frac{2}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

Passaggio 2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}])$

Passaggio 2.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{x}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 2.6

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 - 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 - 2 (- x^{- 2}))$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + 2 x^{- 2})$

Passaggio 3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + 2 \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 4

$2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$8 {(3 x - \frac{2}{x})}^{7} (3 + \frac{2}{x^{2}})$