Calcolo Esempi

$y = \frac{300 x + 300}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 300 x + 300$ e $g (x) = {(2 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{({(2 x + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x + 3)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $300 x + 300$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [300 x] + \frac{d}{d x} [300]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [300 x] + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Poiché $300$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $300 x$ rispetto a $x$ è $300 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $300$ per $1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Poiché $300$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $300$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 + 0) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Somma $300$ e $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \cdot 300 - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.7.2

Sposta $300$ alla sinistra di ${(2 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{300 \cdot {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + 3$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (2 u \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 3$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (2 (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 4.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 4.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 + 0))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 4.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) \cdot 2)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 4.7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $2 x + 3$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) (2 \cdot (2 x + 3))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 4.7.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 4 (300 x + 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Riscrivi ${(2 x + 3)}^{2}$ come $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{300 ((2 x + 3) (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.2

Espandi $(2 x + 3) (2 x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{300 (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{300 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{300 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{300 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{300 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{300 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.3.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.3.1.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.3.2

Somma $6 x$ e $6 x$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 12 x + 9) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{300 (4 x^{2}) + 300 (12 x) + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.5.1

Moltiplica $4$ per $300$ .

$\frac{1200 x^{2} + 300 (12 x) + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.5.2

Moltiplica $12$ per $300$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.5.3

Moltiplica $300$ per $9$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.6.1

Moltiplica $300$ per $- 4$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 1200 x - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.6.2

Moltiplica $- 4$ per $300$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 1200 x - 1200) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.7

Espandi $(- 1200 x - 1200) (2 x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x + 3) - 1200 (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.8.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 x \cdot x - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.8.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 (x \cdot x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.8.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 x^{2} - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.8.1.3

Moltiplica $- 1200$ per $2$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.8.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1200$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.8.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1200$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 2400 x - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.8.1.6

Moltiplica $- 1200$ per $3$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 2400 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.1.8.2

Sottrai $2400 x$ da $- 3600 x$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 6000 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $2400 x^{2}$ da $1200 x^{2}$ .

$\frac{- 1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 6000 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.3

Sottrai $6000 x$ da $3600 x$ .

$\frac{- 1200 x^{2} - 2400 x + 2700 - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $3600$ da $2700$ .

$\frac{- 1200 x^{2} - 2400 x - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $300$ da $- 1200 x^{2} - 2400 x - 900$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Scomponi $300$ da $- 1200 x^{2}$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2}) - 2400 x - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.3.1.2

Scomponi $300$ da $- 2400 x$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x) - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.3.1.3

Scomponi $300$ da $- 900$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x) + 300 (- 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.3.1.4

Scomponi $300$ da $300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x)$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 x) + 300 (- 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.3.1.5

Scomponi $300$ da $300 (- 4 x^{2} - 8 x) + 300 (- 3)$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 4 \cdot - 3 = 12$ e la cui somma è $b = - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Scomponi $- 8$ da $- 8 x$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 (x) - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi $- 8$ come $- 2$ più $- 6$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2} + (- 2 - 6) x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 2 x - 6 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{300 ((- 4 x^{2} - 2 x) - 6 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{300 (2 x (- 2 x - 1) + 3 (- 2 x - 1))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 2 x - 1$ .

$\frac{300 ((- 2 x - 1) (2 x + 3))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

$\frac{300 (- 2 x - 1) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $2 x + 3$ e ${(2 x + 3)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $2 x + 3$ da $300 (- 2 x - 1) (2 x + 3)$ .

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Passaggio 5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Scomponi $2 x + 3$ da ${(2 x + 3)}^{4}$ .

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{300 (- 2 x - 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 5.5

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{300 (- (2 x) - 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 5.6

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{300 (- (2 x) - 1 (1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 5.7

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{300 (- (2 x + 1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 5.8

Riscrivi $- (2 x + 1)$ come $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{300 (- 1 (2 x + 1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 5.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{300 (2 x + 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$