Calcolo Esempi

$y = {(1 + \sin (7 x))}^{- 4}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = 1 + \sin (7 x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $1 + \sin (7 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 4}] \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$- 4 {u_{1}}^{- 5} \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + \sin (7 x)$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (7 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)])$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)])$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $7 x$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $7 x$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Moltiplica $7$ per $- 4$ .

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) \cdot 1$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 28$ per $1$ .

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 28 \frac{1}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

Passaggio 5.2

$- 28$ e $\frac{1}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$ .

$\frac{- 28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

Passaggio 5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

Passaggio 5.4

$\cos (7 x)$ e $\frac{28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$ .

$- \frac{\cos (7 x) \cdot 28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$

Passaggio 5.5

Sposta $28$ alla sinistra di $\cos (7 x)$ .

$- \frac{28 \cos (7 x)}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$