Calcolo Esempi

$g (x) = (\frac{5 x}{{(x^{3} - 6)}^{2}})$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{3} - 6)}^{2}$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{({(x^{3} - 6)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{3} - 6)}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica ${(x^{3} - 6)}^{2}$ per $1$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{3} - 6$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} - 6$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - 6$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (2 (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Passaggio 5

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Passaggio 5.2

Scomponi $x^{3} - 6$ da ${(x^{3} - 6)}^{2} - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x^{3} - 6$ da ${(x^{3} - 6)}^{2}$ .

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x^{3} - 6$ da $- 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])$ .

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) + (x^{3} - 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x^{3} - 6$ da $(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) + (x^{3} - 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$ .

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Passaggio 6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1

Scomponi $x^{3} - 6$ da ${(x^{3} - 6)}^{4}$ .

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{(x^{3} - 6) {(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{(x^{3} - 6) {(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 9

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2})}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x \cdot x^{2}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 11

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.1

Sposta $x^{2}$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 (x^{2} x)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 (x^{2} x^{1})}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 11.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x^{2 + 1}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 11.3

Somma $2$ e $1$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x^{3}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 12

Sottrai $6 x^{3}$ da $x^{3}$ .

$5 \frac{- 5 x^{3} - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 13

$5$ e $\frac{- 5 x^{3} - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$ .

$\frac{5 (- 5 x^{3} - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (- 5 x^{3}) + 5 \cdot - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 14.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 14.2.1

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$\frac{- 25 x^{3} + 5 \cdot - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 14.2.2

Moltiplica $5$ per $- 6$ .

$\frac{- 25 x^{3} - 30}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 14.3

Scomponi $5$ da $- 25 x^{3} - 30$ .

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Passaggio 14.3.1

Scomponi $5$ da $- 25 x^{3}$ .

$\frac{5 (- 5 x^{3}) - 30}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 14.3.2

Scomponi $5$ da $- 30$ .

$\frac{5 (- 5 x^{3}) + 5 (- 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 14.3.3

Scomponi $5$ da $5 (- 5 x^{3}) + 5 (- 6)$ .

$\frac{5 (- 5 x^{3} - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 14.4

Scomponi $- 1$ da $- 5 x^{3}$ .

$\frac{5 (- (5 x^{3}) - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 14.5

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$\frac{5 (- (5 x^{3}) - 1 (6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 14.6

Scomponi $- 1$ da $- (5 x^{3}) - 1 (6)$ .

$\frac{5 (- (5 x^{3} + 6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 14.7

Riscrivi $- (5 x^{3} + 6)$ come $- 1 (5 x^{3} + 6)$ .

$\frac{5 (- 1 (5 x^{3} + 6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Passaggio 14.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 (5 x^{3} + 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$