Calcolo Esempi

$G (x) = {(\frac{1}{x})}^{4} - \ln (x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(\frac{1}{x})}^{4} - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} - \frac{1}{x}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$- 4 \frac{1^{3}}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 4 \frac{1}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Passaggio 4.3.2

$- 4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 4}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $\frac{4}{x^{3}}$ .

$- \frac{4}{x^{2} x^{3}} - \frac{1}{x}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.5.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{4}{x^{2 + 3}} - \frac{1}{x}$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $2$ e $3$ .

$- \frac{4}{x^{5}} - \frac{1}{x}$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$- \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{5}}$