Calcolo Esempi

$g (x) = e^{c x} (\cos (a x) - 3 \sin (a x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{c x}$ e $g (x) = \cos (a x) - 3 \sin (a x)$ .

$e^{c x} \frac{d}{d x} [\cos (a x) - 3 \sin (a x)] + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (a x) - 3 \sin (a x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (a x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]$ .

$e^{c x} (\frac{d}{d x} [\cos (a x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = a x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $a x$ .

$e^{c x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$e^{c x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $a x$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Passaggio 4.3

Moltiplica $a$ per $1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Passaggio 4.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \sin (a x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \frac{d}{d x} [\sin (a x)]) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = a x$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $a x$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [a x])) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Passaggio 5.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [a x])) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $a x$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 (\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x])) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x])) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) (a \cdot 1)) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Passaggio 6.3

Moltiplica $a$ per $1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) \frac{d}{d x} [e^{c x}]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = c x$ .

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Passaggio 7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $c x$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [c x])$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ è $a^{u_{3}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [c x])$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $c x$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) (e^{c x} \frac{d}{d x} [c x])$

Passaggio 8

Differenzia.

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Passaggio 8.1

Poiché $c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $c x$ rispetto a $x$ è $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) e^{c x} (c \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) e^{c x} (c \cdot 1)$

Passaggio 8.3

Moltiplica $c$ per $1$ .

$e^{c x} (- \sin (a x) a - 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) e^{c x} c$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{c x} (- \sin (a x) a) + e^{c x} (- 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) - 3 \sin (a x)) e^{c x} c$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{c x} (- \sin (a x) a) + e^{c x} (- 3 \cos (a x) a) + (\cos (a x) e^{c x} - 3 \sin (a x) e^{c x}) c$

Passaggio 9.3

Applica la proprietà distributiva.

$e^{c x} (- \sin (a x) a) + e^{c x} (- 3 \cos (a x) a) + \cos (a x) e^{c x} c - 3 \sin (a x) e^{c x} c$

Passaggio 9.4

Riordina i termini.

$- e^{c x} a \sin (a x) - 3 e^{c x} a \cos (a x) + e^{c x} c \cos (a x) - 3 e^{c x} c \sin (a x)$