Calcolo Esempi

$\ln (x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 9

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.1

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 10.2

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 11

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 11.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.1.1

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 11.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Passaggio 11.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Passaggio 11.1.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 11.1.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{1}{3 x^{1}}$

Passaggio 11.2

Semplifica $3 x^{1}$ .

$\frac{1}{3 x}$